Умничка Елена Сергевна

- о Прикладной Математике

Нашу эпоху принято называть эпохой научно-технической революции. Мы настолько привыкли к этому сочетанию слов, что почти не задумываемся над их смыслом

Так часто бывает со словами, когда они накрепко спаиваются в некие «словесные блоки»: блок воспринимается как целостность, вызывающая не размышления, а скорее ассоциации и эмоции. Такой блок часто окрашен качественно, отмечен знаком «плюс» или «минус». Случается, что эта эмоциональная оценка в ходе времени меняется на противоположную. Скажем, в свое время блок «борьба с природой» был явно отмечен знаком «плюс»: ныне воинственное отношение к природе вышло из моды, и все более популярным становится блок «охрана окружающей среды». Эмоциональная окраска различных терминов и понятий естественна — нельзя науку и технику полностью отделить от чувств и стремлений, поместить в искусственную, эмоционально стерильную среду. И все же не вредно иногда задуматься о том, что же все-таки скрыто под привычными блоками, «разлепить» образующие их слова, подумать о происхождении термина и его смысле
Меньше всего в таких случаях могут помочь строгие и точные определения. Когда речь идет о широко известных, часто употребляемых понятиях, точные словесные формулировки, поясняющие их смысл, часто тавтологичны или излишни. Возьмем, например, определение слова «стол» в толковом словаре русского языка: «предмет мебели в виде широкой горизонтальной доски на вертикальных опорах, ножках». Вряд ли оно может уточнить или обогатить представление о «столе» у человека, который изо дня в день пользуется «широкой доской» для разнообразных надобностей. И вообще, содержание понятия, как правило, шире и богаче его сжатого словесного определения. Оно формируется не определением, а всем опытом общественной жизни и практической деятельности людей, всей системой ассоциаций, образов, даже эмоций, связанных с данным понятием. Коротко можно эту систему назвать «ассоциативной базой» понятия

Разумеется, содержание памяти, запас представлений и ассоциаций у разных людей различны. Поэтому нет и не было двух людей, которые вкладывали бы в одно и то же понятие в точности один и тот же смысл. Речь может идти только о приближенном в общих чертах совпадении смыслов. Такое совпадение наблюдается, когда мы имеем дело с группой людей с примерно одинаковой психологией культурой, запасом сведений. Если же общей ассоциативной базы нет, то люди могут понимать под одними и теми же словами совсем разные вещи. Да и сами понятия тоже не остаются неизменными: они развиваются, наполняясь новым содержанием, или отмирают. Возьмем, к примеру, понятие «машина» — ясно, что его смысл и содержание для нас совершенно иные, чем для людей прошлого века
То же самое на наших глазах произошло с понятием «космос» — оно вышло из туманных философских глубин и обросло конкретными, земными ассоциациями

Так в чем же современное содержание понятия «научно техническая революция», этой словесной триады, которую мы все время слышим вокруг себя? Думается, что попытки дать строгое, точное и сжатое определение, которое, скажем, студент мог бы выучить наизусть и произнести на экзамене, вряд ли будут успешными. Понятие это слишком широко, многогранно и всепроникающе для лаконичного определения. Мы не только живем в эпоху научно-технической революции, но и дышим ею, проникнуты ею, со всех сторон ею окружены, все время ощущаем на себе ее благо деяния и зуботычины. И все-таки можно позволить себе поразмышлять на эту тему, развить некоторые ассоциативные связи, в которые это понятие погружено. Подумаем, почему именно наше время мы называем «эпохой НТР»? В чем тут дело? В неслыханном развитии науки и техники за последние десятилетия? В огромной роли, которую приобрела в наши дни наука? Да, и в этом тоже. Но техника развивалась всегда, на каждом историческом этапе создавая ранее «неслыханные» вещи. И люди всегда воспринимали современные им науку и технику как высочайшие достижения мысли и изобретательства. Отличие того периода, который мы называем «научно технической революцией», от всех предшествовавших не только и не столько в совершенстве техники и могуществе науки, как в своеобразном перемещении акцентов. В наше время на первый план выходит не задача создания новых и новых образцов техники, а проблема организации и управления. Управления не только машинами, но и людьми сложными человеко-машинными системами. Дело в том что техника и технология сейчас меняются настолько быстро, что не успевают сформироваться опытные люди, умеющие разумно управлять этой техникой, приводить ее в действие. Когда-то умение это приобреталось исподволь, обучение шло «методом проб и ошибок», приобретенные навыки закреплялись, передавались от отца к сыну, от учителя к ученику. Теперь традиции просто не успевают образоваться: на протяжении одной человеческой жизни окружающая среда, требования и навыки успевают смениться не один раз
Человечество приобрело огромные возможности и стало перед лицом огромных опасностей. Старый как мир, испытанный метод «проб и ошибок» в наши дни непригоден — слишком мало времени остается для «проб» и слишком катастрофическими могут оказаться «ошибки». Планируются и проводятся огромные мероприятия, превышающие по своим масштабам, стоимости и возможным последствиям все что когда-либо проводилось ранее. Разумное управление этими мероприятиями жизненно необходимо с точки зрения интересов и дальнейшей судьбы как отдельной страны, так и человечества в целом. Сегодня меньше, чем когда либо, допустимы произвольные, так называемые «волевые решения. Конечно, головотяпы, неразумные и недобросовестные люди существовали и прежде (сам термин «головотяпы восходит к Салтыкову-Щедрину), но разница в масштабе и вредоносности. Головотяп прошлого просто вреден, головотяп эпохи НТР страшен. Ответственные решения должны приниматься не интуитивно, а на основе предварительных прикидок, математических расчетов. И не случайно именно в наше время отмечается бурный рост математических методов во всех областях практики. Вместо того чтобы «пробовать и ошибаться» на реальных объектах, люди предпочитают делать это на математических моделях. Построение таких моделей их анализ и вывод рекомендаций — одна из важнейших задач прикладной математики

Не будем пытаться строго определять само понятие «прикладная математика» — лучше оставить его в легком тумане ассоциативной базы. Одно из возможных, но не исчерпывающих определений: «Прикладная математика — это совокупность методов решения математическими средствами задач, возникших вне математики»; ее противопоставляют «чистой математике», задачи которой возникают внутри самой математики. Однако резкой демаркационной линии между чистой и прикладной математикой не существует
Многие оспаривают даже право на существование самого термина «прикладная математика», считая, что какой-то раздел математики, будучи применен к решению практической задачи, остается самим собой и не переходит из «чистой» в «прикладную». Доля правды в этом рассуждении есть. Разумеется, специальной дисциплины «прикладная математика» не существует. Зато, безусловно, существуют прикладные математики — люди, занимающиеся приложением математических методов к решению задач, возникших не в недрах самой математики, а в реальной жизни

Эти люди — отчасти стихийно, отчасти осознанно, — формируют идеологию прикладной математики, ее своеобразную методологию, если хотите, философию. Приступая к решению конкретных задач практики, специалист-математик, воспитанный в «классической» традиции, должен волей-неволей перестраивать свои приемы, методологические подходы, способы рассуждений и умозаключений. Стало уже общеизвестно, что мы живем в «век математики». Математические методы все шире внедряются в практику: управляющие алгоритмы и реализующие их ЭВМ становятся буквально в ряд производительных сил
Сегодняшние техника, организация, планирование немыслимы без математики. Когда-то математика была эталоном отвлеченности, абстрактности. Сформировался и литературный тип сухаря математика, которому нет дела до происходящего на этой грешной земле. Вспомним хотя бы «Гимн ученому» Маяковского:

Сегодня, как известно, функция «извлечения квадратного корня» с человека снята: вычислительные машины «ежесекундно» выполняют миллионы арифметических операций. Тем не менее, психология «извлекателей корня» еще не отмерла окончательно. То и дело раздаются голоса утверждающие, будто главная задача обучения математике в школе и вузе — это научить людей логически мыслить

Отсюда чрезмерная формализация математических дисциплин, изложение их в отрыве от задач практики. Слов нет привычка к логическому мышлению — хорошее дело, но у математики есть и другие задачи: активного вмешательства в практику, разумной организации производственных и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от математика ответа на вопрос» как поступать в том или другом случае, при тех или других сложившихся обстоятельствах
И дело его чести — не уходить от этих требований в пучину абстракций, а по мере сил удовлетворять их

Но для этого нужна специальная тренировка, умение разобраться в неформально поставленной задаче, подобрать для ее решения подходящий математический аппарат
Сплошь и рядом — отказаться от полной математической строгости, применить не до конца обоснованные, но оправдавшие себя на практике приемы. Для прикладной математики характерны не четко определенные, а «размытые» понятия, категории не чисто качественного, но и не чисто количественного характера; проверка теории с помощью численного расчета, так называемого «машинного эксперимента»

Приемы, которыми пользуется современная прикладная математика — всякого рода «эвристические методы», «экспертные оценки» и т. п., настолько резке расходятся с привычными, классическими приемами, что у профессионального математика «строгой» школы могут вызвать что-то вроде душевной травмы. Конечно» легко объявить, что вся эта «ересь» находится за пределами математики (что часто и делается), но объявить прием недопустимым и ничего не предложить взамен — не лучший выход из положения. Многие задачи просто «не решаются» на уровне должной строгости, а решать их нужно —жизнь не ждет. Волей-неволей приходится пользоваться всеми доступными на сегодняшний день средствами, в том числе и такими, от которых наши предки-математики, как говорится, перевернулись бы в гробах
К такой тотальной профанации математических святынь привело, по-видимому, расширение области действия математики, спектра ее применений. В наше время она наступает на всех фронтах, вторгается во все области знаний. Помимо традиционных областей ее приложений — физики, механики, техники, потребителями математических мето-дов становятся практически все науки: экономика, социо-логия, психология, лингвистика, биология, криминалистика, медицина. Труднее назвать науку, которая до сих пор еще не пользовалась математикой (если такая и есть, то в ближайшем будущем ее, вероятно, постигнет общая участь). Повсюду строятся и анализируются математические модели, применяются математические методы обработки и планирования эксперимента. Математика начинает заниматься такими вопросами, которые от века изучались лишь на гуманитарном уровне: конфликтные ситуации, иерархические отношения в коллективах, дружба, согласие, авторитет, общественное мнение. Появляются такие экзотические науки, как «искусствометрия», «футурология», «информатика» и др. Одним словом, математика со своим аппаратом, своей терминологией и методологией проникает повсюду

Таким образом размывается и становится почти неуловимой грань между так называемыми точными и гуманитарными науками. Долгое время были привычными их противопоставление, разграничение сфер их влияния и методологии. Разница между ними была ясна. В самом деле, какие черты были традиционно свойственны так называемым точным наукам? Отчетливость постановки задачи; количественный характер добываемых выводов; логический (точнее формально логический) характер рассуждений; пользование четко определенными терминами; широкое применение математического аппарата и в связи с этим некая «непререкаемость» выводов. Вывод верен, если верно выполнены ведуще к нему математические преобразования
Традиционные черты так называемых гуманитарных наук другие. Для них характерны вербальный (словесный) способ построения исследования, широкое применение аналогий, убедительных рассуждений, пользование «размытыми» понятиями, точное содержание которых не определяется, полемика, научный спор, апелляция к чувству, к воображению

И вот, на наших глазах это традиционное противопоставление рушится. Грань между точными и гуманитарными науками стирается, разница становится неотчетливой, а то и совсем пропадает. Происходит взаимопроникновение и взаимообогащение этих двух типов наук. Часто (слишком часто!) это взаимодействие расценивается однобоко, как чис-тая, всепобеждающая математизация всех областей знания. Вроде бы точные науки с развернутыми знаменами наступают на бедные гуманитарные, а этим, последним, остается только почтительно сторониться. Математика с ее дедуктивными конструкциями, аксиоматическим построением и формальным аппаратом рассматривается как некий идеальный образец, по которому должны равняться все другие науки. Нередко со стороны математиков наблюдается в отношении других наук этакая позиция завоевателя: «Погодите, мол, доберемся и до вас, до сих пор недосуг было». Всякую науку таксой «математик-завоеватель» согласен считать за науку только в той мере, в какой она оснащена формулами, выражена на математическом языке; все остальное — пустые слова, «сотрясение воздуха»
Эта позиция ложная и вредная. Насильственная математизация чего бы то ни было никогда пользы не приносила; она происходит естественно, когда в ней возникает потребность, обусловленная развитием самой науки. К тому же — это особенно важно! — происходит не одностороннее, а взаимное проникновение двух групп наук. Математика не только проникает в ранее чуждые для нее области, «завоевывает» их — она при этом и сама трансформируется, становится менее формальной, менее ригористичной, меняет свои методологические черты, приближаясь к наукам гуманитарным

В самом деле, спросим себя: откуда взялась и чем обусловлена разница между методологиями точных и гуманитарных наук? Почему формальный математический аппарат очень рано стал применяться в сфере точных наук и только совсем недавно (и то на правах подсобного) в гуманитарных? Уж не потому ли, что люди, занимавшиеся гуманитарными науками, были что ли «глупее» занимавшихся точными? Отнюдь нет! Просто явления, составляющие предмет гуманитарных наук, неизмеримо сложнее тех, которыми занимаются точные. Они гораздо труднее (если вообще) поддаются формализации. Для каждого из них гораздо шире спектр причин, от которых оно зависит, в том числе психология живых людей и коллективов, людские пристрастия и антагонизмы. Вербальный способ построения исследования, как это ни парадоксально, здесь оказывается точнее формально-логического. Значит ли это, что математические методы в области гуманитарных и смежных с ними наук вообще бесполезны? Нет, не значит. Они могут служить мощным вспомогательным средством, позволяющим исследователю глубже вникнуть в существо явления, проследить его закономерности, обнаружить скрытые связи, плохо доступные наблюдению «простым глазом»
Особенно настоятельной становится необходимость построения математических моделей общественных явлений в нашу эпоху НТР, когда (как мы уже указывали выше) в разряд важнейших становится задача управления обширными человеко-машинными системами

Наука об управлении техническими устройствами — теория автоматического регулирования — существует уже довольно давно и, без всякого сомнения, относится к семье точных наук. А к какой области относятся проблемы управления более сложными системами, включающими не только целые массивы технических устройств, но и человеческие коллективы, средства связи и информации? К точным или гуманитарным наукам? Ни к тем, ни к другим. Вернее, и к тем, и другим. Так называемое исследование операций — наука о предварительном обосновании разумных решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности, — безусловно, занимает промежуточное положение между точными, гуманитарными и опытными науками; она широко пользуется математическим аппаратом, отнюдь не сводясь к нему
Правило «семь раз примерь—один отрежь» нигде так не справедливо, как в области крупномасштабных, ответственных решений. Для предварительной «примерки» таких решений, для оценки их разумности и эффективности, неоценимым средством оказываются математические модели позволяющие заменить (хотя бы отчасти) трудоемкий, дорогостоящий и небезопасный натурный эксперимент «математическим экспериментированием» на моделях

Но для того чтобы математические методы стали полноценным инструментом исследования в нетрадиционных областях, нужно, чтобы и сама математика стала новой, нетрадиционной. Прикладная математика, вступая в новые для себя области, должна соответственно перестроиться, выработать новую, более гибкую тактику, сформировать новую идеологию. И это уже происходит на наших глазах только не всегда и не везде и не для всех очевидно. Наряду с образцами подлинной творческой деятельности в области прикладной математики нередко приходится встречаться с «псевдоприкладными» работами, где традиционный, иной раз весьма замысловатый и тонкий математический аппарат работает вхолостую. В таких работах прикладная задача служит только поводом для затейливого математизирования
Какие же черты отличают современную, «рабочую» прикладную математику от традиционной, «классической»? Новая методология, новый набор приемов, новая структура исследования. В самом деле, как строилось «классическое» исследование с применением математических методов? Схема такова: берется четкая постановка задачи, формулируются допущения, а затем поставленная задача решается при помощи безукоризненно точных формальных математических преобразований. Споры, если они возникают, касаются лишь верности произведенных выкладок (если они неверны, работа со смехом отвергается) либо того самый ли удачный из математических методов выбрал автор. Произвол, неизбежный при постановке задачи (поскольку он целиком уложился в строго сформулированные условия), допускается только один раз и остается за пределами обсуждения

Типичный пример: известная схема задач математической статистики. Однажды назначенный (заметим, произвольно!) уровень доверия (то есть вероятность, при которой событие может рассматриваться как достоверное) в дальнейшем «обсуждению и обжалованию не подлежит». Раз мы договорились считать практически достоверным событие с вероятностью, скажем, 0.99, все дальнейшие выкладки проводятся уже безукоризненно точно и строго, а вопрос о том, откуда взялись эти 0.99 считается как бы даже и неприличным
Интонация рассуждений, грубо говоря, такова: пусть нам кто-то («посторонний дядя») назначил уровень доверия. Откуда он его взял — не наше дело; наше дело — ответить на вопрос: противоречит ли при заданном уровне доверия такая-то гипотеза опытным данным? Другой пример. Решается задача оптимального управления. Какой-то параметр выбирается в качестве показателя эффективности (целевой функции), а далее уже совершенно строгими методами ищется тот вариант управления, который обращает целевую функцию в максимум (минимум). Откуда и кем назначен именно этот вид функции? А это не наше дело. Назначен — и баста

Эта классическая схема исследования, разделяющая «заказчика» и «исполнителя», на наших глазах устаревает.
Для современной прикладной математики типично другое: личная уния ставящего задачу и решающего ее. Современный прикладной математик (или группа таковых), занятый решением практической проблемы, непременно должен участвовать не только в решении, но и в постановке задач

Не только в построении модели, но и в выборе целевой функции, в организации расчетов, осмыслении результатов, выдаче рекомендаций. Словом прикладная математика не должна быть «белоручкой», в таком качестве она попросту никому не нужна
Внимательное отношение к нуждам практики, готовность вникнуть в подробности реальной ситуации, разобраться в них отличают подлинного прикладного математика. В каком виде получает он задачу от практика, нуждающегося в его помощи? В виде словесного, чаще всего нечеткого описания. Пусть, например, к математику обращается инженер, работающий на завозе. На производстве возникают заминки, «узкие места». Эти «узкие места» желательно ликвидировать (отбросим нетипичный, но довольно частый случай, когда практику надо попросту защитить диссертацию). Как распорядиться наличными ресурсами, за какую «веревочку» потянуть? Практик обращается к математику с какими-то смутными, неопределенными жалобами на положение вещей и в этот момент похож на больного, который сам не знает, что с ним. И это естественно: неужели же мы будем требовать от больного, чтобы он приходил к врачу с уже готовым диагнозом? А вот чистые математики классической школы часто требуют у практиков уже готовой, четкой постановки задачи. Мое, мол, дело не ставить задачи, а решать уже поставленные. Глубоко порочная позиция! Прикладной математик для того и прикладной, чтобы уметь не только решать кем-то уже поставленные задачи, но и самостоятельно ставить их. В прикладных областях правильно поставить задачу — значит более чем наполовину ее решить (остальное более или менее вопрос техники — преобразований или вычислений). Настоящий прикладной математик должен уметь распознать в реальной ситуации главное, уметь отделить его от побочного, второстепенного; уметь вычленить из живого тела ситуации ее математический скелет; уметь разузнать у практика, что, собственно, ему нужно, иногда растолковать это самому практику. Поддерживая с ним постоянную, оперативную связь, построить математическую модель, руководить расчетами по ней, лично участвовать в анализе полученных данных, в выдаче рекомендаций. Одним словом, работать, засучив рукава, забыв о своей «сословной гордости». Человек, не готовый к тому, чтобы вникать в существо и подробности реальных процессов, не может и не должен заниматься прикладной математикой. Здесь можно вспомнить старинную ирландскую поговорку: «Если у тебя череп, как яичная скорлупа, то не езди на ярмарку в Дублин»

Еще одна существенная разница между классической и современной прикладной математикой. Для первой традиционным является однократный выбор математической модели и однократная формулировка допущений в самом начале исследования; все дальнейшее получается путем формальных преобразований. В нетрадиционных областях это не так. Для того чтобы разобраться в сложном явлении его надо рассмотреть с различных сторон, под разными углами зрения, пробовать, сравнивать результаты, обсуждать их, сопоставлять. Часто бывает полезно вернуться к модели и внести в нее исправления после того, как первый тур расчетов уже произведен. Более того, часто оказывается плодотворным своеобразный спор моделей, когда одно и то же явление описывается не одной, а несколькими моделями. Чрезвычайно важно выявить устойчивость результатов исследования (рекомендаций) по отношению к модели. Если выводы оказываются одними и теми же (приблизительно) при разных моделях, разных методах исследования, — это веское свидетельство в пользу их объективности. К сожалению, такие приемы пока еще мало распространены. В науке известно понятие устойчивости по отношению к малым возмущениям, но пока еще, насколько мне известно, не описана устойчивость по отношению к точке зрения
А как быть, если не удается получить решение, обладающее должной устойчивостью? Это может означать, что вопрос еще не созрел для научного решения или же что имеющаяся информация недостаточна для его постановки

Но и тут сопоставление результатов и рекомендаций, полученных разными методами, может помочь осмыслению ситуации и формированию в споре приемлемой компромиссной позиции. Методология научного спора («в споре рождается истина»), ранее совершенно чуждая математике, для современной прикладной математики очень характерна
Заметим, что на семинарах и конференциях по прикладным математическим задачам участники почти не спорят о методах решения; споры возникают почти исключительно вокруг постановок задач и нередко приводят к сближению точек зрения

Часто споры разворачиваются вокруг того, что следует понимать под «оптимальным решением». Классическая математика тоже знает задачи оптимизации, но в идеально четкой постановке, когда ищется решение, обращающее в максимум (минимум) одну единственную скалярную величину (целевую функцию). Эта идеальная схема крайне редко встречается в реальных задачах, по крайней мере достаточно сложных. Почти все такие задачи оказываются многокритериальными (задачами с векторной целевой функцией). Одни из критериев желательно обратить в максимум другие — в минимум (например, валовой объем продукции — в максимум, фонд заработной платы — в минимум прибыль — в максимум и т. д.). Эти требования, как правило, взаимно противоречивы: не существует решения, удовлетворяющего всем им сразу. Здесь приходится, как при согласовании разных точек зрения, искать форму разумного компромисса (чтобы, так сказать, «и волки были сыты и овцы целы»)
Математические методы оптимизации при всем их совершенстве и изощренности мало чем могут помочь в такой ситуации. До сих пор в математике полноценной теории компромисса не существует. Пока что практически единственной инстанцией, способной быстро и успешно вырабатывать компромиссное решение, является человеческий разум, так называемый здравый смысл. Человек до сей поры — непревзойденный мастер компромисса, и без его участия решение в многокритериальной задаче (не оптимальное, может быть, ни по одному критерию, но приемлемое по их совокупности) пока что выбрано быть не может

Математика в ее современном виде может оперировать только понятиями «больше», «меньше», «равно», но не понятиями типа «приемлемо», «практически равноценно» и т. п. характерными для человеческого мышления. По-видимому, не всякое «лучше— хуже» может быть сведено к «больше — меньше» (или, если может, мы часто не знаем, как это делается). Принимая решение, человек, не вдаваясь в излишние подробности, окидывает общим взглядом ситуацию в целом и выбирает приемлемый вариант. Что касается математики, то её дело в подобных случаях —не выдать окончательное решение, а помочь человеку его выбрать. Дать человеку, принимающему решение, максимум нужной ему информации в выразительной, удобовоспринимаемой форме; показать, к каким последствиям приведет (по ряду критериев) каждый из возможных вариантов решения, предварительно отбросив все неконкурентоспособные
Такое математическое моделирование ситуации часто может заменить недостающий человеку опыт (когда речь идет о ситуациях новых, неизученных, о мероприятиях опыта проведения которых нет). Кроме того, возможна «передача опыта» от человека (или коллектива), искусного в выборе решений, машине, автомату, постепенно вырабатывающему формализованный алгоритм выбора решения (так называемые адаптивные или обучаемые алгоритмы)

К созданию таких алгоритмов могут быть привлечены любые средства (скажем, «экспертные оценки», «механизмы голосования» и т. п.), весьма далекие от математической традиции. Каждый из таких методов может быть применен, но при одном условии—его не надо фетишизировать, объявлять полученный результат «окончательной истиной в последней инстанции». Любой вывод должен быть всегда готов к пересмотру
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. В традиционной математике после того как задача поставлена и допущения сформулированы, решение ищется всегда на максимально доступном уровне точности. Для современной прикладной математики, напротив, характерно требование равнопрочности всех элементов исследования. Точность аппарата должна соответствовать точности, с которой нам могут быть известны исходные данные. Если для выполнения расчетов по данной модели необходимо знание параметров и функций, которые в обозримом будущем получены быть не могут, надо отказаться от этой модели и заменить ее другой, пусть менее точной, но опирающейся на доступную информацию

Кстати, к вопросу об информации, которая считается «заданной» в математической модели. Это одно из больных мест тех математических работ, которые претендуют на роль прикладных, а по существу представляют собой абстрактные упражнения. Исследование начинается с классической формулировки: «Пусть заданы..» и далее перечисляются параметры, которые предполагаются «известными». Откуда они известны, из какого источника, с какой точностью? Такой вопрос даже не ставится. Известны — и все. И вот строятся модели, которые иначе не назовешь как «информационно уродливыми». Возьмем, например, классическую модель конфликтной ситуации — парную антагонистическую игру. Предполагается, что в такой игре каждая сторона в точности знает все стратегии (способы поведения) которыми может пользоваться противник, и неизвестно только, которую именно из них он выберет в данной партии игры. Слов нет, получается изящная математическая теория, позволяющая дать рекомендации сторонам: в каких пропорциях каждая из них должна применять свои стратегии, чтобы добиться максимальной выгоды. Но позвольте спросить: откуда известен полный набор возможных стратегий? На практике так почти никогда не бывает
Как правило, в условиях конфликтной ситуации разумное поведение состоит в том, чтобы выйти за пределы известных противнику стратегий, а не смешивать их в хитроумно найденных пропорциях. Уж не здесь ли причина того, что игровые модели, за которые вначале с азартом ухватились многие, оказались сравнительно бедны реальными приложениями? Другой пример: известная задача математической статистики о построении доверительного интервала при малом числе опытов. Для этого разработан довольно тонкий аппарат, основанный на допущении, что нам известен закон распределения признака в генеральной совокупности (нормальный). И опять возникает вопрос: а откуда, собственно это известно? И с какой, точностью? И какова, наконец практическая ценность самого «продукта» — доверительного интервала? Мало опытов —значит мало информации и дело наше плохо. А будет ли при этом доверительный интервал немного больше или меньше, не так уж важно (тем более что и доверительная вероятность назначена произвольно). И все же зачастую этой проблеме уделяется незаслуженно большое внимание. Здесь налицо явное несоответствие между грубостью постановки задачи, малой ценностью выводов и тонкостью аппарата. Вообще, злоупотребление формальной стороной теории вероятностей в ущерб здравому смыслу — беда многих прикладных работ, где математический аппарат — не средство, а цель

На теорию вероятностей нередко смотрят как на своего рода волшебную палочку, позволяющую получать информацию из полного незнания. Нельзя забывать, что это невозможно — теория вероятностей только средство преобразования одной информации в другую
Применение теории вероятностей в ситуациях, где налицо статистическая устойчивость и имеется нужная информация, вполне оправданно и может давать хорошие результаты. Не так обстоит дело в ситуациях, где вообще никакой информацией о неизвестных факторах мы не располагаем

Такими задачами (выбором решения в условиях полной неопределенности) занимается теория статистических решений. Полностью отрицать пользу этой теории нельзя кое-какие прикидки она позволяет сделать, но не нужно переоценивать ее возможности. Там, где нет информации решение получается неизбежно плохое, и лучше не корпеть над его обоснованием, а попытаться получить нужную информацию в доступном объеме

Вообще, никогда не нужно забывать, что отсутствие информации — беда, а не преимущество исследователя, хотя именно в условиях отсутствия информации он имеет случай щегольнуть наиболее изысканными методами. Здраво поставленные задачи должны и решаться сравнительно просто. Печально положение, когда математика начинает глушить здравый смысл. Из двух крайностей: «математика без здравого смысла» и «здравый смысл без математики» предпочтение, безусловно, надо отдать второй. Разумеется всего лучше, когда работает и то и другое, когда математические расчеты все время проверяются «на здравый смысл»
Но так бывает далеко не всегда. Математический аппарат имеет некое гипнотическое свойство, и исследователи часто склонны безоговорочно верить своим расчетам, и тем больше верить, чем «кудрявее» примененный аппарат, чем больше времени (своего и машинного) потрачено и чем больше бумаги исписано

При нынешней моде на математику в условиях густого потока информации, записанной на языке формул, очень трудно отличить подлинное от кажущегося, настоящую науку — от наукообразия. Слишком часто применение математических методов понимают как чистое и абсолютное благо; считается, что любая математизация — шаг вперед а если он сопровождается автоматизацией — тем паче
Взять хотя бы АСУ (автоматизированные системы управления), о которых сейчас так много говорится. Эти слова и связанные с ними понятия уже срослись в один устойчивый блок, над которым стоит большой знак «плюс» (как скажем, в свое время над блоком «кибернетика» стоял крупный «минус», впоследствии лихорадочно замененный «плюсом»). Слов нет, есть примеры разумного применения АСУ но часто они применяются формально, непродуманно, бесплодно. В порывах необузданного энтузиазма АСУ чуть ли не обожествляются: в них видят какую-то панацею от всех бед — от бесхозяйственности, непредусмотрительности простой глупости. Считается, что введение в процесс управления вычислительной машины само по себе уже великое благо (современная «техническая благодать», заменившая устарелую «благодать божию»). Причем главное внимание в блоке «АСУ» обращается на первую букву «А» (автоматизация)

Создание АСУ нередко начинается с того, что приобретается машина и создается для нее обслуживающий штат
А остальное? Остальное приложится. Была бы машина! «Тогда пойдет уж музыка не та, у нас запляшут лес и горы!» Ну и что же? Машина есть, программисты работают, рулоны бумаги текут, а лес и горы не пляшут! Надо прямо смотреть в глаза фактам и признать, что применение математических методов не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на доматематическом гуманитарном уровне. Вредно тем, что отвлекает внимание от главного к второстепенному, что создает почву для очковтирательства. Жадное внимание, уделяемое первой букве в блоке «АСУ», — плод неразумия и поспешности; ведь само по себе «А» никому не нужно; если оно нужно, то только для «У». А многие думают, что главное в проблеме управления — сбор и обработка информации. А так как информации много, то копить и обрабатывать ее должна машина

Часто эта подсобная, в сущности, процедура выдвигается на первый план, абсолютизируется. За бортом остается главный вопрос: какую именно информацию следует собирать и обрабатывать? Какая нужна, а какая нет? И на каком уровне нужна? Заранее исходят из допущения, что всякая информация — благо, и возможность в любой момент вывести ее из машины и представить на обозрение и есть главная задача АСУ. Исключения редки
«Сбор и обработка информации» — еще один блок с большим знаком «плюс». А так ли уж это бесспорно? Всякую ли информацию стоит собирать, обрабатывать, хранить? Конечно, нет. Человеческое сознание не в силах охватить и осмыслить сразу большой массив информации; ее надо отпрепарировать, отделить важное от неважного, нужное от ненужного, а нужное представить в наиболее выразительной, легко усвояемой форме. И это тоже задача прикладной математики, находящаяся на этот раз на грани психологии, социологии

Сейчас много говорят и пишут о так называемых больших системах, предлагают разные определения понятия «большая система», ни одно из которых не исчерпывающе
Само по себе отсутствие четкого определения — еще не большая беда, и своего рода «тоска по определениям», нередко звучащая в научных исследованиях, — не более чем дань уважения классической математике с ее дедуктивным построением, где каждое понятие либо четко определяется через другие, либо вводится аксиоматически (без определения). Для наук гуманитарных и смежных с ними (а такой как мы уже говорили, является прикладная математика) характерно пользование нечеткими, размытыми понятиями каждое из которых вводится не одним-единственным четким определением, а скорей серией «разговоров по поводу» освещающих объект с разных точек зрения. Так вот, говоря о «больших системах», можно предложить еще одно (не единственное и не окончательное!) определение: «большая система» это такая, в которой полная информация обо всех ее звеньях в управляющем центре не только не нужна но и вредна

Пора перестать молиться на всю и всяческую информацию. Информация бывает разная — нужная, полезная и ненужная, загромождающая, утяжеляющая процесс управления. Необходимо в этом процессе решительно отсекать ненужную, паразитную информацию и оперировать в каждом звене системы управления только той информацией которая безусловно нужна. Этот важнейший информационный аспект проблемы управления должен быть исследован (пока это не сделано, рано говорить о действительно эффективных АСУ). В таких исследованиях большую пользу могут принести опять-таки математические модели, позволяющие сравнить качество и оперативность управления в более громоздкой системе, переобремененной информацией с тем, что дает более простая система, оперирующая только с полезной информацией
Отметим еще одно важное обстоятельство. Имея дело с большой системой, нельзя забывать, что в ее состав обычно входят люди и их коллективы. При исследовании таких систем нужно учитывать специфику эксперимента с людьми

Здесь наблюдается нечто вроде «принципа неопределенности» Гейзенберга, когда само по себе наличие эксперимента неизбежно влияет на ход явления. Такого же рода особенности сопровождают и все возможные эксперименты с людьми и людскими коллективами: здесь в принципе нельзя поставить «чистый» эксперимент, ибо сам по себе факт постановки опыта уже влияет на изучаемый процесс, а отсюда возможность необъективных выводов. Примерами могут служить хотя бы опыты с новыми методами обучения (программированное обучение, применение технических средств и т. п.). Покуда это все является забавным новшеством привлекающим любопытство учащихся, эффект налицо но как только это становится рутиной, эффект пропадает

Другой пример — социологическое тестирование, где редко удается правильно выбрать «типичную группу» и провести опрос так, чтобы не повлиять на состояние объекта

Люди, привыкшие к методологии точных наук, зачастую некритически переносят выработанные там приемы постановки и обработки эксперимента на опыты с людьми уделяя, в частности, большое внимание «корректному» применению аппарата математической статистики. На самом же деле здесь важен не аппарат (он может быть элементарно простым), а важно здравое и трезвое обсуждение (на хорошем гуманитарном уровне) самой методики эксперимента, а также беспристрастное и осторожное осмысление результатов. В стороне от этих проблем тоже не должен оставаться математик — участник исследования. В ряде случаев социологический опыт полезно провести не один раз, а несколько, меняя методику его постановки и обработки и следя за «устойчивостью» выводов

Современная прикладная математика — наука особого рода, стоящая на грани между точными, гуманитарными и опытными науками, смело применяющая приемы, выработанные в каждой из этих групп наук, если они оказываются эффективными. Только такой она и может быть, если ее задача — не созерцание отвлеченностей, а активное вмешательство в жизнь.